En toda proporción aritmética, un
medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.
Observemos: Sea la proporción
aritmética “ a – b = c – d “
Vamos a demostrar que “ b = a
+ d - c
En efecto, ya sabemos que “ a + d = b + c “
La
igualdad que se verifica para todos los valores de las magnitudes que figuran
en ella se llama “identidad”.
Si
se aumenta o disminuye la misma cantidad a los dos miembros de una identidad,
la igualdad subsiste.
Restando c a los dos términos
tendremos:
“
a + d – c = b + c – c “
Y
simplificando, “ b = a + d – c
“, tal como queríamos demostrar.
Ejemplo: En la proporción aritmética 9 – 5 = 10 – 6 ,
comprobar que cada extremo es igual a la suma de los medios menos el otro
extremo.
Solución:
·
La suma de los medios
es 10 + 5 = 15.
·
El extremo 9 deberá ser
igual a 15 menos el extremo 6.
·
En efecto, 9 = 15 – 6
·
El extremo 6 deberá ser
igual a 15 menos el extremo 9.
·
En efecto 6 = 15 - 9
Aplicaciones:
1. Hallar el término desconocido en la proporción aritmética 8-6=4-x
Solución:
Como el
término desconocido es un extremo y tal como se ha visto anteriormente un
extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido.
Operando: x = 6 + 4
- 8
X = 2
Por lo
tanto, la proporción aritmética resultante será 8 – 6 = 4 – 1
2. Hallar el término desconocido en la proporción aritmética
8 – x =
4 – 1
Solución:
Como el
término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos
menos el medio conocido, tendremos:
X = 8 +
1 – 4 ; operando tenemos x = 5
Por lo
tanto, la proporción aritmética resultante será 8 – 5 = 4 – 1
3. Hallar el término desconocido en la proporción aritmética 14 – x = x – 2 .
Aplicando la suma de los extremos es
igual a la suma de los medios: 14 + 2 =
x + x ; Operando tenemos 16 = 2 x
La
igualdad 16 = 2 x no es cierta para todos los valores de la
magnitud “ x “ se llama ECUACIÓN y puede hallarse un valor de dicha magnitud tal
que sustituido en ella la reduzca a una IDENTIDAD. Las magnitudes cuyos valores
es preciso determinar para reducir la ECUACIÓN a IDENTIDAD, esto es, para
SATISFACER LA ECUACIÓN, se llama INCÓGNITA,
y suelen representarse por las
últimas letras del alfabeto x, y , z ; los citados valores se denominan RAICES
DE LA ECUACIÓN, y su determinación constituye la RESOLUCIÓN DE
LA ECUACIÓN.
Se trata de resolver la
ecuación 16 = 2 X , veremos que la SOLUCION se habrá logrado
cuando “ x “ quede sola ( sin el 2 ) es decir, a la derecha del signo igual .
Para eliminar el 2 del segundo miembro
de la ecuación, recurriremos a la propiedad: “ Si se divide con la misma
cantidad a los dos miembros de una ecuación, la igualdad subsiste”.
16 / 2 = 2 x
/ 2 ; Operamos en ambos miembros 8 = x
Por lo tanto, la proporción
aritmética resultante será 14 – 8 = 8 –
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Ejercicios y Problemas
Calcular el término desconocido
en las siguientes proporciones aritméticas. Aplicando Propiedades y luego
desarrollarlas como ecuaciones de primer grado.
1) 5 – 2 = 7 – X
2) 12 – 8 = 25 – X
3) 15 – X = 14 -
1
4) 23 – X = 12 – 3
Se define la MEDIA ARITMÉTICA de
una proporción aritmética continua como cada uno de los medios iguales de dicha
proporción aritmética.
Así, por ejemplo, en la
proporción aritmética continua “8 – 6 = 6 – 4 “ , la media aritmética es 6.
La media aritmética de una
proporción aritmética es igual a la semisuma de los extremos.
En efecto, consideremos la
proporción aritmética continua “a – b = b – c” , se trata de demostrar
que: b = a + c / 2
De a – b = b – c , SABEMOS que “ a + c = b + b “
, o sea, “ a + c = 2 b” y dividiendo ambos miembros por 2, queda:
(
a + c / 2 ) = ( 2 b / 2 ) ,
Simplificando, nos queda: “ a + c / 2
= b “ , tal como queríamos
demostrar.
Ejercicios y Problemas:
1. Hallar la media aritmética entre 8 y 4 .
2. Hallar la media aritmética
entre 12 y 6 ;
15 y 3 ; 13 y 5 ; 10 y 8 .
3. Calcular la media aritmética de cada uno de los siguientes pares de
números: 12 y 10 ; 15 y 3 ; 20 y 4
; 150 y 28 ; 28 y 12 ; 138 y 100.
4. La proposición siguiente expresarla matemáticamente mediante proporción aritmética y demostrar su
cumplimiento: “Si un artículo A de 2000 pasa a tener un precio de 2 350 y si otro artículo B de 200 pasa a tener el valor de 550 ”.
