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martes, 4 de junio de 2013
jueves, 16 de mayo de 2013
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE P G
Ejercicios:
Representamos al primer
término por ( a ) ;
al último término por ( L ) ; al
número de término de la PG ( n ) y la
razón por ( d ) .
1. Sea PG: 4 , 8
, 16 ,
32 , 64 , 128 , 256 .
Hallar al término a, L , n
, d .
2. Hallar la razón en: 24
, 12,
6 , 3
3. Hallar la razón en: 3 , 9,
27 , 81 , 243
4. En la PG 14/3 , 2 , 6 / 7
, 18 /49 , .... Encontrar al
término: L , a , n
, d
Solución: ( 1 )
|
P. G:
|
4
|
8
|
16
|
32
|
64
|
128
|
256
|
ORDEN |
1ER. T
|
2DO.
T
|
3ER.
T
|
4TO.
T
|
5TO.
T
|
6TO.
T
|
7MO.
T
|
Entonces: el primer término ( a ) = 4 ; el último término ( L ) = 256
El número de términos ( n ) = 7
términos.
La razón ( d ) = 8 / 4
= 16 / 8 = 32 / 16 = 2
Solución ( 2 ): d = 12/24
= 6/12 = ½
Solución ( 3 ) : ( d ) = 3
Solución ( 4 ): ( d ) = 2 ¸ 14/3 = 2 x 3/14 = 6 / 14 = 3/7
Nota: Para dividir dos fracciones se multiplica la
primera por la segunda fracción invertida. Si uno de los términos de la
división fuese un número natural, se le coloca como denominador la unidad y se
procede en la forma indicada.
Ejemplo: 5 /6 ¸ 2/3 = 5/6 x 3/2 = (5 x 3 ) ¸
( 6 x 2 ) = ( 5 x 1 ) ¸ ( 2 x 2 ) = 5 / 4
El término n-simo de una Progresión Geométrica ( P. G ):
Sea la P. G:
|
3
|
3 x 4
|
3 x 4 x 4
|
3 x 4 x 4 x 4
|
3
x 4 x 4 x 4 x 4
|
|
|
1er. t
|
2do. t
|
3er. t
|
4to. t
|
5to. t
|
|
|
3 x 4 0
|
3 x 4 1
|
3 x
4 2
|
3 x
4 3
|
3 x 4 4
|
|
Observamos en la P. G:
El primer término ( a ) = 3
La razón ( d ) = 4
( n ) es el número de términos de
la P. G ( n ) = 5
( L ) es el último término de la
P. G es: “al primero ( a ) multiplicado por la razón elevada a una potencia
igual al número de términos que le preceden. ( n – 1 ).
Es decir: L = a ( d (
n – 1 ) )
jueves, 9 de mayo de 2013
PROGRESION GEOMETRICA ( PG)
Progresión Geométrica ( PG )
Definición de Progresión: Es la
sucesión de números que se deducen unos de otros según una cierta ley.
Definición de Progresión
Geométrica: Es la sucesión de números donde el primer término es diferente de
cero y los restantes se obtienen multiplicando al anterior una cantidad
constante llamada razón.
Ejemplo: si el primer elemento se
le representa por ( a ) y a la razón por (d) tenemos a = 1
Ù d = 3
PG:
1 , (
1 x 3 ) , ( 1 x 3 x 3 ) , ( 1 x 3 x 3 x 3 ) , ……
Observamos que:
·
Cada término de la PG es
el producto del término anterior multiplicado por la razón, en éste caso 3.
PG: 1 , 3
, 9 ,
27 , 81 , 243 ,
729 , ……
·
El COCIENTE entre un
término cualquiera y el anterior es constante ( razón )
3 /
1 =
3 ; 9 / 3 =
3 ; 27 / 9
= 3 ; 81
/ 27 =
3 ; .......
·
Una PG es creciente o
decreciente si la razón es mayor o menor que la unidad.
PG: 1 , 1/
2 , 1 / 4 , 1 / 8 , ....
La razón es 1 / 2 que la representamos por ( d ) ; d = 1 / 2
Ù 1 / 2 < 1
Por lo tanto
la PG es decreciente.
Ejercicios:
Representamos al primer
término por ( a ) ;
al último término por ( L ) ; al
número de término de la PG ( n ) y la
razón por ( d ) .
1. Sea PG: 4 , 8
, 16 ,
32 , 64 , 128 , 256 .
Hallar al término a, L , n
, d .
2. Hallar la razón en: 24
, 12,
6 , 3
3. Hallar la razón en: 3 , 9,
27 , 81 , 243
4. En la PG 14/3 , 2 , 6 / 7
, 18 /49 , .... Encontrar al
término: L , a , n
, d
miércoles, 1 de mayo de 2013
PROGRESION ARITMETICA
SOLUCION:
P. A |
|
(a) + 2d
|
|
(a) + 4d
|
|
(a) + 7 d
|
(a) + 8 d
|
ORDEN |
|
Tercero |
|
Quinto |
|
Octavo
|
Noveno
|
Donde: ( a ) es el primer término. ( d ) es la razón de la P. A.
Formamos la ecuación de: LA SUMA
DE CUADRADOS DE LOS TERMINOS TERCERO Y NOVENO ES 90.
( a + 2 d) 2 + ( a + 8 d ) 2 = 90
Nota: TENEMOS UNA ECUACIÓN CON DOS INCÓGNITAS,
NECESITAMOS DOS ECUACIONES PARA LLEGAR A LA SOLUCION DEL PROBLEMA.
Formamos la segunda ecuación con:
LA SUMA DEL QUINTO CON EL OCTAVO ES 13.
( a + 4d ) + ( a + 7 d ) = 13
Realizando el sistema llegamos
que la razón es d = 1 .
FELICITACIONES PARA TODOS
AQUELLOS QUE LLEGARON A LA SOLUCION.
SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA
PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
En toda P A la suma de dos
términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos:
Ejemplo: 1, 3, 5, 7 donde a = 1 ; an
= 7 ; d = 2 ; 1 +
7 = 8 ; 3 + 5 = 8.
Ejemplo:
|
-38
|
- 26
|
- 14
|
- 2
|
10
|
22
|
|
a
|
b
|
c
|
d
|
e
|
f
|
(
a + f ) = -38 + 22 = - 16
( b + e ) = - 26 + 10 = - 16
( c + d ) = - 14 + - 2 = - 16
Por tanto podemos decir: a + f = b + e = c + d ....
Suma ( S ) = ( a + f ) + ( b + e
) + ( c + d ) + ... es decir S = ( a + f ) + ( a + f ) + ....
S t = ( a + l ) /
2 ( n )
donde S es la suma total de los términos.
(
a ) es el primer término ( l ) = es el
último término
(
n ) = es el número total de términos participantes.
Teorema: La Suma de los términos
de una P A es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de
términos.
Aplicaciones:
1) Hallar la suma de los 4
términos en : 1, 3, 5, 7
donde a = 1 , l = 7 ,
n = 4
Fórmula: S = ( a + l ) / 2 ( n )
= ( 1 + 7 ) / 2 ( 4 ) = 8 ( 2 ) = 16
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