Razón Geométrica

La  Razón Geométrica: La comparación de dos números por medio de la división se llama razón geométrica. Se escribe separando los números que se comparan por la raya de quebrado.

Así, la razón geométrica de  5  a 3 se escribe  5 / 3  y se lee “cinco es a tres”.

Propiedades de la  Razón Geométrica:

Son las mismas que las de la fracción, puesto que razón geométrica es – al igual que la fracción – una división indicada; sólo hay que decir antecedente, consecuente y razón en lugar de numerador, denominador y cociente, respectivamente.

Propiedad I de las fracciones: De dos o más fracciones de igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador.

Así entre las fracciones 3/5, 2/5, 1/5, es mayor (  >  ) 3/5, como se puede apreciar en la gráfica figuras  “a” , “b”,  “c”.

a)        /__/__/__/__/__/        ( 3 / 5 ) 

            //// //// ///

b)        /__/__/__/__/__/         ( 2 / 5 )

             //// ///

c )       /__/__/__/__/__/        (  1 / 5 )

            / / //

.Propiedad II: De dos o más fracciones de igual numerador es mayor la que tiene menor denominador

Así: entre las fracciones  2/5,  2/ 4,  2/3, es mayor 2 / 3, como se puede apreciar en las figuras  “d”, “ e “,  “ f “.

d)    /__/__/__/__/__/             ( 2 / 5 )

         ////////

e)    /__/__/__/__/                       ( 2 /  4 )

         ////////

f)     /__/__/__/                                  ( 2 / 3 )

         ///////

Propiedad III: Si el numerador de una fracción se multiplica o divide por un número, la fracción queda multiplicada en el primer caso,  y  dividida en el segundo caso, por dicho número.

En efecto:   sea la fracción  6/7

a)      6 X 5 /  7  =  30 / 7  =  6 / 7 X 5

b)      6 :  3  / 7  =   2 / 7  =  6 /  7   :  3 

Propiedad IV: Si el denominador de una fracción se multiplica o divide entre un número, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo, por dicho número.

Sea la fracción  2 / 3

a)     2 / 3 x 2 = 2 / 6 = (2 / 3 ) : 2  = 2/3 X 1/ 2

b)     2 / 3 :  3  =  2 =  ( 2 / 3 ) X  3  = 2 / 3 X 3 / 1

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores, respectivamente. ( b ).

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la segunda fracción invertida ( a ) .

Propiedad V: Si los términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, la fracción no altera su valor.

 Ejemplo:   3 / 6

a)    ( 3 X 4 )  /  ( 6 X 4 )  =  12 / 24 =  6 / 12 = 3 / 6

b)    (  3 : 3 )  /  (  6 :  3 )  =  1  / 2 =  3 / 6

De esta propiedad se deduce que, una fracción puede escribirse de varias maneras con sólo multiplicar o dividir sus términos por un mismo número. Estas fracciones que se escriben de distinta manera pero tienen el mismo valor, se llaman “fracciones equivalentes”.

El razonamiento no se desarrolla sino por medio de la acción.. PIAGET

Ejercicios y Problemas:

1.       Explique cada una de las propiedades de las fracciones poniendo dos ejemplos para cada propiedad.

2.     Haga 6 veces mayor las siguientes fracciones, sin alterar sus denominadores:  3 / 8 ;  5 / 6 ;  1 / 5 ; 4 / 12  En qué propiedad se ha basado?

3.     Haga 4 veces mayor las siguientes fracciones, sin alterar los numeradores:  ¾ ; 7 / 12 ; 5 / 8 ; 15 / 16. En qué propiedad se ha basado?

4.     Haga 3 veces menor las siguientes fracciones, sin alterar los denominadores:  ¾ ; 12 / 13 ; 6 / 7 ; 9 / 11. En qué propiedad se ha basado?

5.     Escriba cada una de las siguientes fracciones: 5/6; 8/9: 5/8, de dos maneras más, pero sin que se altere el valor de dichas fracciones.

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Seguimos con nuestro curso, ahora con aplicaciones comparando dos magnitudes por medio de la división.

Aplicaciones:

Relacionamos la distancia que recorre un móvil  u objeto en movimiento con el tiempo que tarda en recorrerlo mediante una magnitud física a la que llamamos velocidad.

Traducido a expresión matemática:      v = d/t  en donde “ v” representa la velocidad, “d” la distancia consumida por el móvil,  “t” el tiempo en recorrerlo.

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es el   m / s. Es la velocidad de un móvil que recorre un metro en cada segundo.

Ejemplo 1  :  Un hombre recorre la distancia de 5 040 metros en 3 600 seg. Calcular la velocidad.

/__________________/

A                                                           B            Observamos que en puno A el cronómetro marca cero ( 0 ) y se activa dicho cronómetro cuando el hombre inicia su marcha hacía al punto B. Se detiene dicho cronómetro cuando el hombre llega al punto B. Marcando el cronómetro 3600 segundos.

La distancia entre A y B es de 5040 metros.

La experiencia nos señala que si relacionamos 5040 m  con 3600 segundos  mediante la razón   5040 / 3600  y operando llegamos al número 1,4 que lo acompañamos por la unidad de medida  m /s .

Si empleamos la imaginación vemos que el hombre en cada segundo avanza un metro, es decir la velocidad no cambia en todo el trayecto. La velocidad es constante.

Busquemos otro ejemplo 2:  en donde vamos a relacionar dos magnitudes diferentes mediante una razón geométrica:

Un móvil recorre 90 kilómetros en 1 hora. Averiguar que distancia recorre en un segundo.

Empleando la matemática la relacionamos   90 Km / 1 h  =  90 km / h

Como  en un kilómetro existen 1 000 metros y en una hora 3 600 seg. Reducimos  la velocidad 90 km/h  a  90 000 m / 3600 seg ,  simplificando tenemos:  50 m / 2 seg = 25 m / s . Cada segundo avanza 25 metros. Siendo su velocidad constante. 

EJERCICIOS y PROBLEMAS

En toda proporción aritmética, un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.

Observemos: Sea la proporción aritmética  “ a – b = c – d “

Vamos a demostrar que  “ b = a  +  d  -  c

En efecto, ya sabemos que  “ a + d = b + c “

La igualdad que se verifica para todos los valores de las magnitudes que figuran en ella se llama “identidad”.

Si se aumenta o disminuye la misma cantidad a los dos miembros de una identidad, la igualdad subsiste.

Restando c a los dos términos tendremos:

“  a + d – c = b + c – c “

Y  simplificando,   “ b = a + d – c “,  tal como queríamos demostrar.

Ejemplo:  En la proporción aritmética 9 – 5 = 10 – 6 , comprobar que cada extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo.

Solución: 

·        La suma de los medios es  10 + 5 = 15.

·        El extremo 9 deberá ser igual a 15 menos el extremo 6.

·        En efecto, 9 = 15 – 6

·        El extremo 6 deberá ser igual a 15 menos el extremo 9.

·        En efecto 6 = 15 - 9

Aplicaciones:

1.       Hallar el término desconocido en la proporción aritmética 8-6=4-x

Solución:

Como el término desconocido es un extremo y tal como se ha visto anteriormente un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido.

Operando:  x = 6 + 4  - 8 

X = 2

Por lo tanto, la proporción aritmética resultante será 8 – 6 = 4 – 1

2.     Hallar el término desconocido en la proporción aritmética

8 – x = 4 – 1 

Solución:

Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:

X = 8 + 1 – 4   ; operando tenemos  x = 5

Por lo tanto, la proporción aritmética resultante será 8 – 5 = 4 – 1

3.     Hallar el término desconocido en la proporción aritmética                    14 – x = x – 2 . Aplicando  la suma de los extremos es igual a la suma de los medios:  14 + 2 = x + x ;  Operando tenemos 16 = 2 x

La igualdad  16 = 2 x  no es cierta para todos los valores de la magnitud “ x “ se llama ECUACIÓN   y  puede hallarse un valor de dicha magnitud tal que sustituido en ella la reduzca a una IDENTIDAD. Las magnitudes cuyos valores es preciso determinar para reducir la ECUACIÓN a IDENTIDAD, esto es, para SATISFACER LA ECUACIÓN, se llama INCÓGNITA,  y  suelen representarse por las últimas letras del alfabeto x, y , z ; los citados valores se denominan RAICES DE LA ECUACIÓN,  y  su determinación constituye la RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.

Se trata de resolver la ecuación  16 = 2 X ,  veremos que la SOLUCION se habrá logrado cuando “ x “ quede sola ( sin el 2 ) es decir, a la derecha del signo igual . Para eliminar el 2  del segundo miembro de la ecuación, recurriremos a la propiedad: “ Si se divide con la misma cantidad a los dos miembros de una ecuación, la igualdad subsiste”.

16 / 2  =  2 x / 2 ; Operamos en ambos miembros   8 = x

Por lo tanto, la proporción aritmética resultante será  14 – 8 = 8 – 2

Ejercicios y  Problemas

Calcular el término desconocido en las siguientes proporciones aritméticas. Aplicando Propiedades y luego desarrollarlas como ecuaciones de primer grado.

1)      5 – 2 = 7 – X 

2)     12 – 8 = 25 – X

3)      15 – X  = 14  - 1

4)     23 – X = 12 – 3

Se define la MEDIA ARITMÉTICA de una proporción aritmética continua como cada uno de los medios iguales de dicha proporción aritmética.

Así, por ejemplo, en la proporción aritmética continua “8 – 6 = 6 – 4 “ , la media aritmética es 6.

La media aritmética de una proporción aritmética es igual a la semisuma de los extremos.

En efecto, consideremos la proporción aritmética continua “a – b = b – c” , se trata de demostrar que:  b = a + c / 2

De  a – b = b – c , SABEMOS que “ a + c = b + b “ , o sea,  “ a + c = 2 b”  y dividiendo ambos miembros por 2, queda:

                               ( a + c / 2 ) = ( 2 b / 2 ) ,

Simplificando, nos queda:  “ a + c / 2  = b “ ,  tal como queríamos demostrar.

Ejercicios y Problemas:

1.       Hallar la media aritmética entre 8 y 4 .

2.     Hallar la media aritmética  entre 12  y  6 ;   15 y 3 ; 13 y 5 ; 10 y 8 .

3.     Calcular la media aritmética de cada uno de los siguientes pares de números: 12 y 10 ; 15 y 3 ;  20 y 4 ;  150 y 28 ;  28 y 12 ; 138 y 100.

4.     La proposición siguiente expresarla matemáticamente mediante  proporción aritmética y demostrar su cumplimiento: “Si un artículo  A  de 2000 pasa a tener un precio de  2 350 y si otro artículo B de  200 pasa a tener el valor de 550 ”.

Proporciones aritméticas Propiedades...

Las proporciones aritméticas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas discretas. Por el contrario, si los medios de la proporción aritmética son iguales, ésta recibe el nombre de continua.

Así, por ejemplo: 9 – 4 = 8 – 3 es una proporción aritmética discreta, mientras que 10 – 8 = 8 – 6 es una proporción aritmética continua.

En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

En efecto, consideremos la proporción aritmética “a – b = c – d”  vamos a demostrar que “a + d = c + b”.

“ a + d = c + b “ se le llama igualdad por estar expresada por signos aritméticos, por la cual se establece que dos magnitudes son iguales.

En efecto:

Sumando a los miembros de la EQUIDIFERENCIA dada

“ a – b = c – d”  un extremo y un medio tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d   y simplificando, queda  “a + d = c + b “ , tal como queríamos demostrar.

Nota:  Los procedimientos deben ser observados con el fin de comprender el tema y escribiendo se aprende....

Cuando hablamos en forma general, utilizamos las letras ( a, b, c..)      y operamos con números para demostrar la veracidad de la expresión en   particular

Ejemplo 1:

En la proporción aritmética 8 – 6 = 9 – 7,  comprobar que la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

Solución: Observamos que:

·        Suma de extremos:  8 + 7 = 15

·        Suma de medios:      6 + 9 = 15

Que es el mismo resultado obtenido anteriormente, tal como queríamos comprobar.

Ejemplo 2:  Sea  16 -  9 = 20 - 13 en donde comprobamos que la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

·        Suma de los extremos:  16 + 13 = 29

·        Suma de los medios :      20 + 9  = 29

En toda proporción aritmética, un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.

 En efecto, consideremos la proporción aritmética “ a – b = c – d “

Se trata de demostrar que  “ a = b + c – d”

En efecto: ya sabemos por la propiedad anterior que “a + d = b + c “

Restando “ d “ a  ambos miembros, tenemos “ a + d – d = b + c – d”

Simplificando ( d – d = 0 ) tenemos:  “a = b + c – d “,  tal como queríamos demostrar...

Ejemplo:  En la proporción aritmética 9 – 5 = 10 – 6 , comprobar que cada extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo.

Solución: 

·        La suma de los medios es  10 + 5 = 15.

·        El extremo 9 deberá ser igual a 15 menos el extremo 6.

·        En efecto, 9 = 15 – 6

·        El extremo 6 deberá ser igual a 15 menos el extremo 9.

·        En efecto 6 = 15 - 9

PROPORCIONES ARITMETICAS ( PA)

Proporciones aritméticas ( P A )

Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas.

Sea PA :   a – b = c – d   y se lee “ a es a b  como  c es a  d”

Ejemplo:    5  -  3  =  9  -  7   se lee  “ 5 es a 3  como  9 es a 7”

Donde el primer término es 5 ;   el tercer término es 9

El segundo término es 3 ; el cuarto término es 7.

Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan medios.

En las razones aritméticas, los términos primero y tercero reciben el nombre de antecedentes, mientras que los términos segundo y cuarto se llaman consecuentes.

Por lo tanto:  en la PA  5 – 3 = 9 – 7  ;   5  y   7  son los extremos,  3 y  9 son los medios,  5  y  9  son los antecedentes,  3  y  7   son los consecuentes.

Ejercicios y  Problemas

En los siguientes PA en cada una  observar, escribir y contestar: 

1.       Comprobar si las siguientes expresiones son una proporción aritmética:  3 – 2 = 5 – 4  ;   12 – 5 =  13  - 8  ;  16 – 2 = 135 – 121

2.     Nombrar cada término en las siguientes proporciones aritméticas:  5 – 3 = 10 – 8 ;   15 – 12 =  28 – 25 ;  131 – 45 = 88 – 2

Razones  y   Proporciones.

Introducción histórica:  Las proporciones fueron usadas y conocidas desde tiempo muy remotos. Mientras que los griegos tuvieron una concepción abstracta y teórica de las proporciones, como puede observarse en los “ELEMENTOS”, de EUCLIDES, los matemáticos italianos del Renacimiento utilizaron y divulgaron sus aplicaciones prácticas. La notación actualmente utilizada para representar las proporciones se debe a TARTAGLIA.

Razones Aritméticas:

Razón o Relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden COMPARARSE hallando cuánto excede una a la otra, es decir, restandolas; diremos entonces que estamos calculando su RAZON  ARITMÉTICA.

La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia de dichas cantidades.

Ejemplo: la razón aritmética  de 8 y  3 :   8 – 3 = 5

  /---/---/---/---/---/---/---/---/

/---/---/---/

He comparado dos cantidades restandolas y observamos que 8 excede a 3 en 5 unidades.

Problemas:

1. Hallar la razón aritmética de los siguientes pares de números:  30  y  22;   121   y   56;    42  y   12;    92   y   13.

30 – 22 = 8  Observamos que se cumple: M – S = D ;     M = S + D ;   S = M  - D

donde  M  es el minuendo,  S es el sustraendo,  D es la diferencia.

121 – 56 = 65 ; Observamos 121 = 56 + 65 ;   56 = 121 – 65

42  - 12 = 30 ; Se cumple: 42 = 12 + 30 ;   12 = 42 – 30

92 – 13 = 79 ; Observe que se cumple: : M – S = D ;     M = S + D ;   S = M  - D

Los términos de la razón aritmética reciben en nombre de ANTECEDENTE en el primer término y CONSECUENTE en el segundo.

Ejemplo: en la razón 30 y  22,  el antecedente es 30 y  el consecuente 22.

Problemas:

2.     Indicar cuál es el antecedente y cuál es el consecuente de la razón aritmética  5  -  3 .

3.      Indicar cuál es el antecedente y el consecuente  de 121  y 56;  42 y 12;  92 y  13.

Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las PROPIEDADES de las razones aritméticas serán las PROPIEDADES de toda resta o diferencia.

a.     Si al antecedente de una razón aritmética se le suma o resta un número cualquiera, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.

Ejemplo:  5 – 3 = 2  Si al antecedente ( 5 ) se le suma ( 9 ), la razón aumenta en ( 9 ) :   5 + 9 = 14 ;      14 – 3 = 11  Observamos que la razón aumentó en ( 9 ).

Si al antecedente ( 5 ) le resto 1, la razón disminuye en ( 1 ):   4 – 3 = 1.

b.     Si al consecuente de una razón aritmética se le suma o se le resta un número cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo.

Ejemplo:   19 – 10 = 9 ;  Si al consecuente ( 10 ) le sumo ( 6 ), la razón queda disminuida en (    )....Observe: 19 – 16 = 3

Si al consecuente ( 10 ) le resto ( 8 ), la razón queda aumentada en (   )... Observe:  19 – 2 = 17 ......... ( 9 + 8 = 17 )....

c.      Si al antecedente y  consecuente de una razón aritmética se le suma o resta un mismo número, la razón aritmética no varía.

Ejemplo:   9 – 7 = 2 ; Si al antecedente ( 9 ) le sumo ( 4 ) y  al consecuente(7 )

Le sumo ( 4 ); Observo que  ( 9 + 4 )  -  ( 7 + 4 ) = 13 – 11 = 2 .....Realice usted la otra alternativa...

Problemas:

4.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 15.

5.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 6.

6.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 2.

7.       Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 18.

8.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 22.

9.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 25.

Sus preguntas no incomodan. Realízalas a mercado193@hotmail.com

Gracias por la visita.

Ejercicios y Problemas

Ejercicios y Problemas  2:

Hallar la razón de la Progresión Aritmética ( PA):

        a)     7,   23 _{( 6 )}  ,  10111 _{( 2 )}  ,  31 ,  ....

b)    - 6,  -  3,  0,  3,  ....

c)     18,  13,  8,  3,  - 2,  .....

d)    4,  10,  16,  22, ....

Hallar la razón de la Progresión Geométrica ( PG):

a)     128,  64,  32,  .....

b)     1,  11 _{( 2 )}  , 21 _{( 4 )} ,  27, ...

c)     14/3,  2,  6/7,  18/ 49, ....

d)     21, 147,  1029,  7203,  ....

Hallar los 4 primeros términos de:

                      1 )   PA:  si el primer término ( a ) es  - 3  y la razón ( d ) es  - 2

2)    PA:  a = - 5  ;  d = - 3

3)    Si el 3ro  y  5to término de una PG es ½  y  1/48 respectivamente.

Solución  del Ejercicio y Problemas 2.

1 a. Hallar la razón de la PA:   7,   23 _{( 6 )}  ,  10111 _{( 2 )}  ,  31 ,  ....

OBSERVAMOS, que el primer término que nosotros lo llamamos ( a ) es 7,  el segundo  23 _{( 6)}  , el sistema de numeración empleado tiene como base el número 6 ( 0, 1, 2,  3, 4, 5 ), es decir:   2 . 6¹  + 3 . 6 ⁰  = 2  . 6 + 3  = 12 + 3 = 15.

El tercer término: 10 111 _{( 2 )}   el sistema de numeración empleado es base 2

( 0, 1 ),  es decir:   1. 2 ⁴ + 0 . 2 ³ + 1 . 2 ²  + 1 . 2 ¹ + 1 . 2 ⁰ = 16 + 4 + 2 +1 = 23  en base 10.  Por lo tanto, la PA:  7,  15, 23, 31,.... tiene como razón: 15 – 7  = 23 – 15 = 31 – 23 = 8.

1 b.  Hallar la razón de la PA:  -6,  - 3,  0,  3,  ....

OBSERVAMOS:  que  ( a ) = - 6  y  la razón ( d ) =  - 3 -  ( - 6 ) =  - 3  + 6 = 3  y se cumple:

- 6 + 3 = - 3  ;  - 3 +  3 = 0 ;   0 + 3 =  3......

1c.  Hallar la razón de la PA:  18,  13,  8,  3,  - 2,  .....

( d ) = 13 – 18 = 8 – 13 = 3 – 8 = - 5

1d.   ( d ) = 6

2. Hallar la razón de la Progresión Geométrica ( PG):

128,  64,  32,  .....

Cada término de la PG es el PRODUCTO del término anterior por la razón: Por lo tanto, para hallar la razón ( d )  dividimos 64  entre 128 es decir 64/128 = 1 / 2

Hallar la razón de la Progresión Geométrica ( PG):

1,  11 _{( 2 )}  , 21 _{( 4 )} ,  27, ...

Conversión de los números de un Sistema a Otro: Sabemos que para escribir el número  ( 11 ) ₂ en el Sistema Decimal de numeración debemos representarlo en la forma:  1. 2 + 1 . 2 ⁰ =  2 + 1 = 3   ;  2 . 4 + 1 . 4 ⁰ = 8 + 1 = 9

Por lo tanto,  la PG es:  1 ,  3 ,  9 ,  27, ....   ( d ) =  3/1 = 9 / 3 = 3

PG:  14/3,  2,  6/7,  18/ 49, ....  Entonces ( d )  :  2 entre 14/3 =  2 X  3 /14 = 3/7

PG:  21, 147,  1029,  7203,  ....  ( d ) = 7

Hallar los 4 primeros términos de:

                      1 )   PA:  si el primer término ( a ) es  - 3  y la razón ( d ) es  - 2

P A:   -3,  -5 ,  -7,  - 9 , ....

                         2)  P A:  a = - 5  ;  d = - 3

P A:  - 5 ,  - 8 ,  - 11 ,  - 14 , ........

3)    Si el 3ro  y  5to término de una PG es ½  y  1/48 respectivamente.

P. G	( a )  d 0	( a )  d	1/2	( a )  d 3	1/48
ORDEN	1ER. T	2DO. T	3ER. T	4TO.  T	5TO.  T.

3er T = ( a )  d ²  es decir   ½ = ( a )  d ²   Despejando a:  1/ 2 d ² 

5to T =  ( a )  d ⁴  es decir  1 / 48 =  ( a )  d ⁴ 

Sustituyendo ( a ) en la segunda ecuación:   1/48  = ( ½  d² )  d ⁴

1 / 48 = d ² / 2 donde d ² = 1 / 24

1er término:  a = 1 / ( d ²  2 )  =  1 / ( 1 / 24  ) ( 2 )  = 1 /  ( 1 / 12 ) = 12

2do término: 12 ( √ 24  / 24 ) = ½  √ 24

3er término:  12 ( 1 / 24 ) =  1 / 2

4to. Término:  12 ( 1 / 24    .  √ 24 / 24 ) =  √24 / 48

Por lo tanto la PG:  12,  ½  √ 24 ,  1 / 2  ,   √24 / 48 ,   .....