La Proporcionalidad y su
historia:
La
proporcionalidad de magnitudes fue conocida y utilizada desde tiempos muy
antiguos, y la aritmética comercial tomada por los árabes fue difundida por Leonardo de Pisa en el
siglo XII, para resolver todo tipo de problemas relacionados con los repartos
de beneficios y las pérdidas de las compañías.
Repartos proporcionales
Los
repartos proporcionales consisten en dividir un número en partes proporcionales
a otros varios y pueden ser directos, inversos y compuestos.
Para repartir un número dado en partes directamente
proporcionales a varios números enteros, se multiplica el número que se quiere
repartir por cada uno de los números enteros y se divide por la suma de todos
ellos.
Ejemplo: Repartir
36 en partes directamente proporcionales a 2, 3
y 4.
Solución:
·
Los números enteros
son: 2,
3, 4.
·
La suma de todos
ellos: 2 + 3 + 4 = 9
Operando:
( a ) = 36 /
9 ( 2 ) = ( 4 ) ( 2 ) = 8
( b ) = 36 / 9
( 3 ) = ( 4 ) ( 3 ) = 12
( c ) = 36 / 9
( 4 ) = ( 4 )
( 4 ) = 16
Obsérvese que: 8 + 12 + 16 = 36
Ejemplo 2: Repartir 220 en
partes directamente proporcionales a 5
y 6.
Solución:
( a ) = 220 / 5 + 6
( 5) = 220 / 11
( 5 ) = 20 ( 5 ) = 100
( b ) = 220 / 5 + 6 ( 6 )
= 220 / 11 ( 6 )
= 20 ( 6 ) = 120
Obsérvese que: 100 + 120 = 220
Ejemplo 3: José y
María tienen juntos 220 soles, los soles que tiene José y los que tiene María
están en la misma relación que los números 5 y 6. Cuántos soles tiene cada uno?
Solución:
Si a la cantidad de soles que
tiene José lo representamos con la letra J y a los soles que tiene María lo
representamos por la letra M, podemos formar la siguiente proporción de acuerdo
a los datos del problema:
J / M = 5 /
6
Operando:
J + M / M = 5 + 6 / 6
Pero J + M = 220
Por lo tanto: 220 / M = 11 / 6 , donde M = 220 ( 6 ) / 11 = 120.
Lo que tiene José será igual a
: 220 – 120 = 100
Respuesta: José tiene 100 soles y María 120 soles.
Para repartir un número en partes directamente
proporcionales a varias fracciones, se reducen las fracciones a común
denominador y se reparte el número dado en partes directamente proporcionales a
los numeradores.
Ejemplo:
Repartir 39 en partes
directamente proporcionales a ½, 1/ 3,
y ¼.
Solución:
Reducir las fracciones a común
denominador:
·
Se multiplica cada
numerador por todos los denominadores de los demás fracciones; estos productos
son los nuevos numeradores.
·
El denominador común es
el producto de todos los denominadores.
Del 1ro. 1 x 3 x 4 = 12
Del 2do. 1 x 2 x 4 = 8
Del 3ro. 1 x 2 x 3 = 6
El denominador común es 2 x 3 x
4 = 24
Las nuevas fracciones son: 12 / 24 ,
8 / 24 , 6 /24
Simplificando: 6 / 12 ; 4 / 12;
3 / 12
Se trata de repartir 39 en
partes directamente proporcionales a 6, 4, 3 , es decir:
( a ) = 39 / 6 + 4 + 3 ( 6 )
= 39 / 13 ( 6 ) =
( 3 ) ( 6 ) = 18
( b ) = 39 / 6 + 4 + 3 ( 4 ) =
39 / 13 ( 4 ) = ( 3
) ( 4 ) = 12
( c ) = 39 / 6 + 4 + 3 ( 3 ) =
39 / 13 ( 3 ) = ( 3 ) ( 3 ) = 9
Obsérvese que: 18 + 12 + 9 = 39
Problemas:
1. Repartir 900 en partes directamente proporcionales a:
a) 7
b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
2. Repartir 650 en partes directamente proporcional a
a) 8 b) 12 c) 20
d) 29 e) 30 f) 31
3. Repartir 580 en partes directamente proporcionales a:
a)
7 b) 10
c) 12
4. Repartir 1 780 en partes directamente proporcionales a:
a) 1 / 4
b) 1 / 5 c) 1/ 6
d) 1 / 8
5. Repartir 1 535 en partes
directamente proporcionales a:
a) 5 / 6
b) 7 / 12 c) 1
/8 d) 2 / 7
6. Dos hermanos A y B pagan una deuda de la
familia que asciende a 14 mil soles. A
paga 9 800 y B el resto. Determinar la
razón entre lo que paga A y B.
7
Si una vara de 2, 15 m de
longitud da una sombra de 6, 45 metros. Cuál será la altura de una torre cuya
sombra a la misma hora es de 51 metros?
8 El trabajo que hace Juan es el trabajo que hace Pedro como a 3 es
a 4. Si Juan hizo 60 metros de la obra. Cuántos metros hizo Pedro?
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