lunes, 16 de diciembre de 2013

Reparto Proporcionales



La Proporcionalidad y su historia:

               
                La proporcionalidad de magnitudes fue conocida y utilizada desde tiempos muy antiguos, y la aritmética comercial tomada por los árabes  fue difundida por Leonardo de Pisa en el siglo XII, para resolver todo tipo de problemas relacionados con los repartos de beneficios y las pérdidas de las compañías.

Repartos proporcionales

                Los repartos proporcionales consisten en dividir un número en partes proporcionales a otros varios y pueden ser directos, inversos y compuestos.

Para repartir un número dado en partes directamente proporcionales a varios números enteros, se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los números enteros y se divide por la suma de todos ellos.

Ejemplo:  Repartir 36 en partes directamente proporcionales a 2, 3  y 4.
Solución:
·        Los números enteros son:  2,  3,  4.
·        La suma de todos ellos:  2 + 3 + 4  =  9

Operando:
( a )  =  36 / 9    ( 2 )  = ( 4 ) ( 2 ) = 8
( b ) =   36 / 9    ( 3 )  = ( 4 )  ( 3 ) = 12
( c ) =   36 / 9    ( 4 )  =  ( 4 )  ( 4 ) = 16
Obsérvese que:   8 + 12 + 16 = 36

Ejemplo 2: Repartir 220 en partes directamente proporcionales a 5  y  6.
Solución: 
( a ) =  220 / 5 + 6    ( 5)   =  220 / 11   ( 5 ) = 20 ( 5 ) = 100
( b ) = 220 / 5 + 6     ( 6 )  =  220 / 11   ( 6 )  = 20 ( 6 ) = 120
Obsérvese que:  100 + 120 = 220
Ejemplo 3:  José y María tienen juntos 220 soles, los soles que tiene José y los que tiene María están en la misma relación que los números 5 y 6. Cuántos soles tiene cada uno?

Solución:
Si a la cantidad de soles que tiene José lo representamos con la letra J y a los soles que tiene María lo representamos por la letra M, podemos formar la siguiente proporción de acuerdo a los datos del problema:
J / M  =  5 / 6
Operando:
J + M / M  = 5 + 6 / 6 
Pero J + M = 220
Por lo tanto:   220 / M = 11 / 6  , donde M = 220 ( 6 ) / 11 =  120.
Lo que tiene José será igual a :  220 – 120 = 100
Respuesta:  José tiene 100 soles y María 120 soles.

Para repartir un número en partes directamente proporcionales a varias fracciones, se reducen las fracciones a común denominador y se reparte el número dado en partes directamente proporcionales a los numeradores.

Ejemplo:
Repartir 39 en partes directamente proporcionales a   ½,   1/ 3,  y  ¼. 
Solución: 
Reducir las fracciones a común denominador:
·        Se multiplica cada numerador por todos los denominadores de los demás fracciones; estos productos son los nuevos numeradores.
·        El denominador común es el producto de todos los denominadores.

Del 1ro.  1 x 3 x 4 = 12
Del 2do. 1 x 2 x 4 =  8
Del 3ro.  1 x 2 x 3 = 6
El denominador común es 2 x 3 x 4 = 24
Las nuevas fracciones son:   12 / 24 ,   8 / 24 ,  6 /24 
Simplificando: 6 / 12 ;   4 / 12;  3 / 12 
Se trata de repartir 39 en partes directamente proporcionales a 6, 4, 3 , es decir: 
( a ) = 39 / 6 + 4 + 3     ( 6 )  =  39 / 13  ( 6 ) =  ( 3 ) ( 6 ) = 18
( b ) = 39 / 6 + 4 + 3     ( 4 ) =   39 / 13  ( 4 )  =  ( 3 ) ( 4 ) = 12
( c ) = 39 / 6 + 4 + 3     ( 3 ) =  39 / 13   ( 3 ) =   ( 3 ) ( 3 ) =   9
Obsérvese que:  18 + 12 + 9 = 39

Problemas:
1.       Repartir 900 en partes directamente proporcionales a:
a)   7   b)  8  c) 9  d) 10  e)  11
2.     Repartir 650 en partes directamente proporcional a
a)    8  b) 12  c) 20  d) 29  e) 30 f) 31
3.     Repartir 580 en partes directamente proporcionales a:
a) 7   b) 10   c) 12
4.     Repartir 1 780 en partes directamente proporcionales a:
a)  1 / 4    b) 1 / 5   c)  1/ 6   d)  1 / 8
5.     Repartir 1 535  en partes directamente proporcionales a:
a)  5 / 6   b)  7 / 12    c)  1 /8  d) 2 / 7
6.  Dos hermanos A y B pagan una deuda de la familia que asciende a 14  mil soles. A paga 9 800  y B el resto. Determinar la razón entre lo que paga A   y  B.
7         Si una vara de 2, 15 m de longitud da una sombra de 6, 45 metros. Cuál será la altura de una torre cuya sombra a la misma hora es de 51 metros?
8       El trabajo que hace Juan es el trabajo que hace Pedro como a 3 es a 4. Si Juan hizo 60 metros de la obra. Cuántos metros hizo Pedro?


lunes, 25 de noviembre de 2013

MAGNITUDES PROPORCIONALES



Magnitudes Proporcionales
Magnitudes Directamente Proporcionales:
        Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al “multiplicar o dividir” una de ellas por un número, la otra resulta respectivamente “multiplicada o dividida” por dicho número.
        Así, son magnitudes directamente proporcionales:
a)     La velocidad de un móvil y la distancia que recorre.  Porque, cuanto mayor es la velocidad del móvil será mayor la distancia que recorre; si la velocidad disminuyera, disminuirá también la distancia recorrida.
b)     La longitud de una tela y el valor de la tela. Porque, cuanto mayor sea la longitud de una tela será mayor su valor; y cuanto menor sea esa longitud será también menor su valor.
c)     La tripulación de un barco y el consumo diario de alimentos. Porque, cuanto mayor sea el número de tripulantes será mayor el consumo diario de alimentos; y cuanto menor sea la tripulación será también menor el consumo diario.

En cambio:
d)     La altura y la presión atmosférica.
e)     La velocidad de un vehículo y el tiempo en que corre una distancia.
f)       El número de obreros y el tiempo que emplean en una construcción.

Son magnitudes inversamente proporcionales. Porque:
A mayor altura menor presión, y a menor altura mayor presión.

“El aire, sujeto también a la fuerza de la gravedad, pesa,  y por lo tanto ejerce presión. Esa presión se llama presión atmosférica”.

      Cuanto mayor sea la velocidad de un móvil será menor el tiempo que emplee para llegar a un lugar; y cuanto menor sea esa velocidad será mayor el tiempo que emplee.

       A mayor número de obreros emplean menor tiempo en terminar una construcción; y menor número de obreros emplean mayor tiempo.

Proporcionalidad de Magnitudes:

Las cantidades que intervienen en los problemas matemáticos pueden clasificarse en constantes y  variables.
Se dice que una cantidad es constante cuando siempre adopta el mismo valor.  Por el contrario, se dice que una cantidad es variable cuando puede tomar diversos valores.
Las constantes suelen representarse por las primeras letras del alfabeto como  a, b, c, d, e,  mientras que las variables  se representan por las últimas letras del alfabeto:  r, s, t, u, v, w, x, y.
Ejemplo 1: la velocidad del sonido en el aire es una constante 340 m /s
Por lo tanto, puedo encontrar el tiempo que tarda en oírse un disparo de un cañón situado a 1 020 m de distancia.  ( solución  3 segundos )
Aquí el tiempo es una variable que depende de la distancia del cañón.
Ejemplo 2:  Cuál es el más veloz si la velocidad del primero es de 300 m /s y la del otro 970 km /h .

Las magnitudes proporcionales se dividen en directamente proporcionales e inversamente proporcionales. Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra resulta multiplicada por el mismo número y al dividir una de ellas por un número, la otra resulta dividida por el mismo número.
Ejemplo 3: Si 3 libros cuestan S/. 11,  por lo tanto, 6 libros cuestan S/. 22.
Son cuatro cantidades proporcionales y homogéneas dos a dos.
Observamos dos conjuntos: libros, soles
Podemos igualar la razón directa de las dos primeras con la razón directa de las dos últimas, y como son directamente proporcionales la proporción será   3/6 = 11 / 22

Por el contrario, se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número, y al dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.

Ejemplo 4: Si  8 obreros hacen un trabajo en   5 días;  4 obreros hacen el mismo trabajo en  10 días.
Las cuatro cantidades son inversamente proporcionales, donde se procede igualando la razón directa de las dos primeras con la razón inversa de las dos últimas o viceversa.
La proporción será    8 / 4  =  10 / 5    ó    4 / 8  =  5 / 10

lunes, 14 de octubre de 2013

Proporciones Geométricas



Solución de los ejercicios:
1.    La proporción es 15 / 5 = 9 / 3 .
Comprobamos con (15) (3) = (5) (9)
Es decir:  ( 15 ) ( 3 ) = 45 ;   ( 5 ) ( 9 ) = 45
Entonces:       45   =   45
2. La proporción es   100 / 20 = 25 / 5
                Comprobamos: “el producto de los medios es igual al de los extremos” , es decir:  ( 100 ) ( 5 ) =  ( 20 ) ( 25 )
                                                               500       =      500
3       La proporción es 168 / 12 = 70 / 5 
Lo comprobamos:  ( 168 ) ( 5 ) = ( 12 ) ( 70 )
Es decir:  840  =  840 

4 .  La proporción es:   63  /  7   =   X  / 9
                Aplicamos definición de proporción:  ( 63 ) ( 9 ) = ( 7 ) ( X )
A la igualdad formada se le conoce como ECUACIÓN y puede hallarse un valor de dicha magnitud tal que substituido en ella la reduzca a una identidad.
Se trata de resolver la ecuación:   ( 63 ) ( 9 ) =  ( 7  ) ( X ) , veremos que la solución se habrá logrado cuando X quede sola en el segundo miembro, es decir, a la derecha del signo igual.
Para eliminar al “ ( 7 ) “ del segundo miembro de la ecuación, recurrimos a la identidad  ( 1 ) / 7  =  ( 1 ) / 7   .
Tendremos entonces las dos igualdades siguientes:
                ( 63 ) ( 9 ) ( 1 ) / 7  =  ( 7 ) ( X ) ( 1 ) / 7
Operamos:  :  ( 63 ) ( 9 ) /  7   =  ( 7 ) ( X )  / 7
                                               567 /  7  =  X
                                                               81 = X
Por lo tanto, la proporción  buscada es:  63 / 7   =  81  / 9

1.       La proporción es:  7 / 2 = 21 / 6
Es decir:  ( 7 ) ( 6 ) = ( 2 ) ( 21 )
42   =  42
2.     La proporción es:  2 / 5 = 8 / X
Aplicamos la definición   ( 2 ) ( X )  =  ( 5 ) ( 8 )
A la igualdad formada se le llama ECUACIÓN  y el  valor de la incógnita X la podemos hallar de la siguiente manera:  Se efectúa la operación indicada    ( 5 ) ( 8 ) = 40
 La ECUACIÓN  Simplificada:   ( 2 ) ( X )  =  40
 De donde al formar la Proporción Geométrica,  X queda despejada en el primer miembro :          X  =  40 / 2
Operando,  se  tiene  X = 20
Por lo tanto,  la proporción buscada es  2/ 5 = 8 / 20
7. La proporción es:   4 / X = 12 / 15
Aplicamos definición de Proporción: ( 4 ) ( 15 ) = ( X ) ( 12 )
Se efectúa  la  operación indicada  ( 4 ) ( 15 ) = 60
Es decir: 60 = ( X ) ( 12 )
Aplicamos definición de Proporción de la forma más conveniente:
60 / 12  =  X   y Operamos la división.
5 = X
8. La proporción es:    20 / X = 5 / 3
Aplicamos definición de Proporción:  ( 20 ) ( 3 ) = ( X ) ( 5 )
Se efectúa la operación indicada:  ( 20 ) ( 3 ) = 60
Simplificamos:  60 = ( X ) ( 5 )
Por definición de Proporción tenemos:  60 / 5 = X
El valor de X se halla al efectuar la operación indicada: X = 12
Por lo tanto la proporción pedida por el problema es:
20 / 12 = 5 / 3
2.     Realícelo de tres maneras diferentes.
3.     Realícelo de dos maneras diferentes.

__________.
“Existe una cosa mala: engañar a otro; hay otra estúpida y mala: autoengañarse;  y peor que ambas es esta cosa grotesca: autoengañarse y no advertirlo, por haber adquirido el hábito”.                                                        
__________.