Razón Geométrica

La  Razón Geométrica: La comparación de dos números por medio de la división se llama razón geométrica. Se escribe separando los números que se comparan por la raya de quebrado.

Así, la razón geométrica de  5  a 3 se escribe  5 / 3  y se lee “cinco es a tres”.

Propiedades de la  Razón Geométrica:

Son las mismas que las de la fracción, puesto que razón geométrica es – al igual que la fracción – una división indicada; sólo hay que decir antecedente, consecuente y razón en lugar de numerador, denominador y cociente, respectivamente.

Propiedad I de las fracciones: De dos o más fracciones de igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador.

Así entre las fracciones 3/5, 2/5, 1/5, es mayor (  >  ) 3/5, como se puede apreciar en la gráfica figuras  “a” , “b”,  “c”.

a)        /__/__/__/__/__/        ( 3 / 5 ) 

            //// //// ///

b)        /__/__/__/__/__/         ( 2 / 5 )

             //// ///

c )       /__/__/__/__/__/        (  1 / 5 )

            / / //

.Propiedad II: De dos o más fracciones de igual numerador es mayor la que tiene menor denominador

Así: entre las fracciones  2/5,  2/ 4,  2/3, es mayor 2 / 3, como se puede apreciar en las figuras  “d”, “ e “,  “ f “.

d)    /__/__/__/__/__/             ( 2 / 5 )

         ////////

e)    /__/__/__/__/                       ( 2 /  4 )

         ////////

f)     /__/__/__/                                  ( 2 / 3 )

         ///////

Propiedad III: Si el numerador de una fracción se multiplica o divide por un número, la fracción queda multiplicada en el primer caso,  y  dividida en el segundo caso, por dicho número.

En efecto:   sea la fracción  6/7

a)      6 X 5 /  7  =  30 / 7  =  6 / 7 X 5

b)      6 :  3  / 7  =   2 / 7  =  6 /  7   :  3 

Propiedad IV: Si el denominador de una fracción se multiplica o divide entre un número, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo, por dicho número.

Sea la fracción  2 / 3

a)     2 / 3 x 2 = 2 / 6 = (2 / 3 ) : 2  = 2/3 X 1/ 2

b)     2 / 3 :  3  =  2 =  ( 2 / 3 ) X  3  = 2 / 3 X 3 / 1

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores, respectivamente. ( b ).

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la segunda fracción invertida ( a ) .

Propiedad V: Si los términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, la fracción no altera su valor.

 Ejemplo:   3 / 6

a)    ( 3 X 4 )  /  ( 6 X 4 )  =  12 / 24 =  6 / 12 = 3 / 6

b)    (  3 : 3 )  /  (  6 :  3 )  =  1  / 2 =  3 / 6

De esta propiedad se deduce que, una fracción puede escribirse de varias maneras con sólo multiplicar o dividir sus términos por un mismo número. Estas fracciones que se escriben de distinta manera pero tienen el mismo valor, se llaman “fracciones equivalentes”.

El razonamiento no se desarrolla sino por medio de la acción.. PIAGET

Ejercicios y Problemas:

1.       Explique cada una de las propiedades de las fracciones poniendo dos ejemplos para cada propiedad.

2.     Haga 6 veces mayor las siguientes fracciones, sin alterar sus denominadores:  3 / 8 ;  5 / 6 ;  1 / 5 ; 4 / 12  En qué propiedad se ha basado?

3.     Haga 4 veces mayor las siguientes fracciones, sin alterar los numeradores:  ¾ ; 7 / 12 ; 5 / 8 ; 15 / 16. En qué propiedad se ha basado?

4.     Haga 3 veces menor las siguientes fracciones, sin alterar los denominadores:  ¾ ; 12 / 13 ; 6 / 7 ; 9 / 11. En qué propiedad se ha basado?

5.     Escriba cada una de las siguientes fracciones: 5/6; 8/9: 5/8, de dos maneras más, pero sin que se altere el valor de dichas fracciones.

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Seguimos con nuestro curso, ahora con aplicaciones comparando dos magnitudes por medio de la división.

Aplicaciones:

Relacionamos la distancia que recorre un móvil  u objeto en movimiento con el tiempo que tarda en recorrerlo mediante una magnitud física a la que llamamos velocidad.

Traducido a expresión matemática:      v = d/t  en donde “ v” representa la velocidad, “d” la distancia consumida por el móvil,  “t” el tiempo en recorrerlo.

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es el   m / s. Es la velocidad de un móvil que recorre un metro en cada segundo.

Ejemplo 1  :  Un hombre recorre la distancia de 5 040 metros en 3 600 seg. Calcular la velocidad.

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A                                                           B            Observamos que en puno A el cronómetro marca cero ( 0 ) y se activa dicho cronómetro cuando el hombre inicia su marcha hacía al punto B. Se detiene dicho cronómetro cuando el hombre llega al punto B. Marcando el cronómetro 3600 segundos.

La distancia entre A y B es de 5040 metros.

La experiencia nos señala que si relacionamos 5040 m  con 3600 segundos  mediante la razón   5040 / 3600  y operando llegamos al número 1,4 que lo acompañamos por la unidad de medida  m /s .

Si empleamos la imaginación vemos que el hombre en cada segundo avanza un metro, es decir la velocidad no cambia en todo el trayecto. La velocidad es constante.

Busquemos otro ejemplo 2:  en donde vamos a relacionar dos magnitudes diferentes mediante una razón geométrica:

Un móvil recorre 90 kilómetros en 1 hora. Averiguar que distancia recorre en un segundo.

Empleando la matemática la relacionamos   90 Km / 1 h  =  90 km / h

Como  en un kilómetro existen 1 000 metros y en una hora 3 600 seg. Reducimos  la velocidad 90 km/h  a  90 000 m / 3600 seg ,  simplificando tenemos:  50 m / 2 seg = 25 m / s . Cada segundo avanza 25 metros. Siendo su velocidad constante.