Proporciones aritméticas Propiedades...

Las proporciones aritméticas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas discretas. Por el contrario, si los medios de la proporción aritmética son iguales, ésta recibe el nombre de continua.

Así, por ejemplo: 9 – 4 = 8 – 3 es una proporción aritmética discreta, mientras que 10 – 8 = 8 – 6 es una proporción aritmética continua.

En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

En efecto, consideremos la proporción aritmética “a – b = c – d”  vamos a demostrar que “a + d = c + b”.

“ a + d = c + b “ se le llama igualdad por estar expresada por signos aritméticos, por la cual se establece que dos magnitudes son iguales.

En efecto:

Sumando a los miembros de la EQUIDIFERENCIA dada

“ a – b = c – d”  un extremo y un medio tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d   y simplificando, queda  “a + d = c + b “ , tal como queríamos demostrar.

Nota:  Los procedimientos deben ser observados con el fin de comprender el tema y escribiendo se aprende....

Cuando hablamos en forma general, utilizamos las letras ( a, b, c..)      y operamos con números para demostrar la veracidad de la expresión en   particular

Ejemplo 1:

En la proporción aritmética 8 – 6 = 9 – 7,  comprobar que la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

Solución: Observamos que:

·        Suma de extremos:  8 + 7 = 15

·        Suma de medios:      6 + 9 = 15

Que es el mismo resultado obtenido anteriormente, tal como queríamos comprobar.

Ejemplo 2:  Sea  16 -  9 = 20 - 13 en donde comprobamos que la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

·        Suma de los extremos:  16 + 13 = 29

·        Suma de los medios :      20 + 9  = 29

En toda proporción aritmética, un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.

 En efecto, consideremos la proporción aritmética “ a – b = c – d “

Se trata de demostrar que  “ a = b + c – d”

En efecto: ya sabemos por la propiedad anterior que “a + d = b + c “

Restando “ d “ a  ambos miembros, tenemos “ a + d – d = b + c – d”

Simplificando ( d – d = 0 ) tenemos:  “a = b + c – d “,  tal como queríamos demostrar...

Ejemplo:  En la proporción aritmética 9 – 5 = 10 – 6 , comprobar que cada extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo.

Solución: 

·        La suma de los medios es  10 + 5 = 15.

·        El extremo 9 deberá ser igual a 15 menos el extremo 6.

·        En efecto, 9 = 15 – 6

·        El extremo 6 deberá ser igual a 15 menos el extremo 9.

·        En efecto 6 = 15 - 9

PROPORCIONES ARITMETICAS ( PA)

Proporciones aritméticas ( P A )

Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas.

Sea PA :   a – b = c – d   y se lee “ a es a b  como  c es a  d”

Ejemplo:    5  -  3  =  9  -  7   se lee  “ 5 es a 3  como  9 es a 7”

Donde el primer término es 5 ;   el tercer término es 9

El segundo término es 3 ; el cuarto término es 7.

Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan medios.

En las razones aritméticas, los términos primero y tercero reciben el nombre de antecedentes, mientras que los términos segundo y cuarto se llaman consecuentes.

Por lo tanto:  en la PA  5 – 3 = 9 – 7  ;   5  y   7  son los extremos,  3 y  9 son los medios,  5  y  9  son los antecedentes,  3  y  7   son los consecuentes.

Ejercicios y  Problemas

En los siguientes PA en cada una  observar, escribir y contestar: 

1.       Comprobar si las siguientes expresiones son una proporción aritmética:  3 – 2 = 5 – 4  ;   12 – 5 =  13  - 8  ;  16 – 2 = 135 – 121

2.     Nombrar cada término en las siguientes proporciones aritméticas:  5 – 3 = 10 – 8 ;   15 – 12 =  28 – 25 ;  131 – 45 = 88 – 2

Razones  y   Proporciones.

Introducción histórica:  Las proporciones fueron usadas y conocidas desde tiempo muy remotos. Mientras que los griegos tuvieron una concepción abstracta y teórica de las proporciones, como puede observarse en los “ELEMENTOS”, de EUCLIDES, los matemáticos italianos del Renacimiento utilizaron y divulgaron sus aplicaciones prácticas. La notación actualmente utilizada para representar las proporciones se debe a TARTAGLIA.

Razones Aritméticas:

Razón o Relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden COMPARARSE hallando cuánto excede una a la otra, es decir, restandolas; diremos entonces que estamos calculando su RAZON  ARITMÉTICA.

La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia de dichas cantidades.

Ejemplo: la razón aritmética  de 8 y  3 :   8 – 3 = 5

  /---/---/---/---/---/---/---/---/

/---/---/---/

He comparado dos cantidades restandolas y observamos que 8 excede a 3 en 5 unidades.

Problemas:

1. Hallar la razón aritmética de los siguientes pares de números:  30  y  22;   121   y   56;    42  y   12;    92   y   13.

30 – 22 = 8  Observamos que se cumple: M – S = D ;     M = S + D ;   S = M  - D

donde  M  es el minuendo,  S es el sustraendo,  D es la diferencia.

121 – 56 = 65 ; Observamos 121 = 56 + 65 ;   56 = 121 – 65

42  - 12 = 30 ; Se cumple: 42 = 12 + 30 ;   12 = 42 – 30

92 – 13 = 79 ; Observe que se cumple: : M – S = D ;     M = S + D ;   S = M  - D

Los términos de la razón aritmética reciben en nombre de ANTECEDENTE en el primer término y CONSECUENTE en el segundo.

Ejemplo: en la razón 30 y  22,  el antecedente es 30 y  el consecuente 22.

Problemas:

2.     Indicar cuál es el antecedente y cuál es el consecuente de la razón aritmética  5  -  3 .

3.      Indicar cuál es el antecedente y el consecuente  de 121  y 56;  42 y 12;  92 y  13.

Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las PROPIEDADES de las razones aritméticas serán las PROPIEDADES de toda resta o diferencia.

a.     Si al antecedente de una razón aritmética se le suma o resta un número cualquiera, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.

Ejemplo:  5 – 3 = 2  Si al antecedente ( 5 ) se le suma ( 9 ), la razón aumenta en ( 9 ) :   5 + 9 = 14 ;      14 – 3 = 11  Observamos que la razón aumentó en ( 9 ).

Si al antecedente ( 5 ) le resto 1, la razón disminuye en ( 1 ):   4 – 3 = 1.

b.     Si al consecuente de una razón aritmética se le suma o se le resta un número cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo.

Ejemplo:   19 – 10 = 9 ;  Si al consecuente ( 10 ) le sumo ( 6 ), la razón queda disminuida en (    )....Observe: 19 – 16 = 3

Si al consecuente ( 10 ) le resto ( 8 ), la razón queda aumentada en (   )... Observe:  19 – 2 = 17 ......... ( 9 + 8 = 17 )....

c.      Si al antecedente y  consecuente de una razón aritmética se le suma o resta un mismo número, la razón aritmética no varía.

Ejemplo:   9 – 7 = 2 ; Si al antecedente ( 9 ) le sumo ( 4 ) y  al consecuente(7 )

Le sumo ( 4 ); Observo que  ( 9 + 4 )  -  ( 7 + 4 ) = 13 – 11 = 2 .....Realice usted la otra alternativa...

Problemas:

4.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 15.

5.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 6.

6.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 2.

7.       Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 18.

8.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 22.

9.     Encontrar 3 pares de números cuya razón aritmética sea 25.

Sus preguntas no incomodan. Realízalas a mercado193@hotmail.com

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