Proporciones aritméticas Propiedades...

Las proporciones aritméticas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas discretas. Por el contrario, si los medios de la proporción aritmética son iguales, ésta recibe el nombre de continua.

Así, por ejemplo: 9 – 4 = 8 – 3 es una proporción aritmética discreta, mientras que 10 – 8 = 8 – 6 es una proporción aritmética continua.

En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

En efecto, consideremos la proporción aritmética “a – b = c – d”  vamos a demostrar que “a + d = c + b”.

“ a + d = c + b “ se le llama igualdad por estar expresada por signos aritméticos, por la cual se establece que dos magnitudes son iguales.

En efecto:

Sumando a los miembros de la EQUIDIFERENCIA dada

“ a – b = c – d”  un extremo y un medio tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d   y simplificando, queda  “a + d = c + b “ , tal como queríamos demostrar.

Nota:  Los procedimientos deben ser observados con el fin de comprender el tema y escribiendo se aprende....

Cuando hablamos en forma general, utilizamos las letras ( a, b, c..)      y operamos con números para demostrar la veracidad de la expresión en   particular

Ejemplo 1:

En la proporción aritmética 8 – 6 = 9 – 7,  comprobar que la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

Solución: Observamos que:

·        Suma de extremos:  8 + 7 = 15

·        Suma de medios:      6 + 9 = 15

Que es el mismo resultado obtenido anteriormente, tal como queríamos comprobar.

Ejemplo 2:  Sea  16 -  9 = 20 - 13 en donde comprobamos que la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

·        Suma de los extremos:  16 + 13 = 29

·        Suma de los medios :      20 + 9  = 29

En toda proporción aritmética, un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.

 En efecto, consideremos la proporción aritmética “ a – b = c – d “

Se trata de demostrar que  “ a = b + c – d”

En efecto: ya sabemos por la propiedad anterior que “a + d = b + c “

Restando “ d “ a  ambos miembros, tenemos “ a + d – d = b + c – d”

Simplificando ( d – d = 0 ) tenemos:  “a = b + c – d “,  tal como queríamos demostrar...

Ejemplo:  En la proporción aritmética 9 – 5 = 10 – 6 , comprobar que cada extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo.

Solución: 

·        La suma de los medios es  10 + 5 = 15.

·        El extremo 9 deberá ser igual a 15 menos el extremo 6.

·        En efecto, 9 = 15 – 6

·        El extremo 6 deberá ser igual a 15 menos el extremo 9.

·        En efecto 6 = 15 - 9